RECONOCIMIENTO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Se tienen los siguientes conjuntos: A={a1, a2}; B={b1, b2, b3, b4, b5} A y B representan el conjunto de los amigos.
A su vez {b1, b2, b3} son los amigos de a1 y {b2, b3, b4, b5} son los amigos de a2.

De acuerdo a los conjuntos dados y sus
características completa los diagramas sagitales
con las flechas necesarias para cumplir con las
características que se dan. Ten en cuenta lo
trabajado anteriormente.

Con base a la solución encontrada y teniendo
en cuenta que la pareja ordenada (a, b)
representa la relación de “amistad” (a amigo
de b), escribe:

A. El conjunto AxB de todas las amistades
que se pueden dar.

B. El conjunto C de los amigos de a1.

C. El conjunto D de los amigos de a2.

D. El conjunto E de los amigos en común de
a1 y a2.

Si se tiene en cuenta lo trabajado en la primera parte y lo anterior:

- ¿Cómo se relacionan los elementos del conjunto AxB y los elementos de C, D y
E respectivamente?

- Si se considera la pareja (a1, a1) con la relación de “amistad”, ¿Qué representa la
anterior pareja?

De lo anterior tenemos que C, D y E son subconjuntos del
conjunto AxB, es decir, que una relación entre los conjuntos A
y B es subconjunto del producto cartesiano AxB.

Mientras la pareja (a1, a1) indica que a1 es amigo de sí
mismo. Luego, dicha relación se denomina propiedad
reflexiva,
ya que el elemento a1 se relaciona consigo mismo.

Actividad

Considere la relación de “hermanos” expuesta en los
diagramas. Tenga en cuenta que b1, b2 son los
hermanos de a1, y b2, b3 son los de a2. De acuerdo
con lo anterior escriba y responda según lo pedido:

El conjunto F que represente la relación “hermano”
de a1.
El conjunto G que represente la relación “hermano”
de a2.
¿(a1, b1) representa lo mismo que (b1, a1)? Justifica
tu respuesta.

Si se tiene las dos parejas (a1, b2) y (b2, a2), ¿se
puede concluir que a1 es hermano de a2? Justifica tu
respuesta.

De lo anterior tenemos que a1 es hermano de b1, pero a su vez b1 es
hermano de a1, representando así, lo mismo. Luego, dicha relación se
denomina propiedad simétrica, ya que la pareja (a1, b1) guarda la misma
relación que la pareja (b1, a1).

Ejemplo: si se considera la relación “ser múltiplo de” y se tiene los
elementos 2 y 4 particularmente. La pareja (2, 4) no representaría lo mismo
que la pareja (4, 2); ya que 4 es múltiplo de 2 (4, 2) pero 2 no es múltiplo de
4 (2, 4). Por ende la relación no es simétrica.

Por otro lado si a1 es hermano de b2 y a su vez b2 es hermano de a2, se
puede llegar a que a1 es hermano de a2. Luego, dicha relación se denomina
propiedad transitiva, ya que a1 guarda la misma relación con a2 a través de
b2.

Ejercicio

Para el siguiente ejercicio consideraras las relaciones sobre
un mismo conjunto, es decir, los subconjuntos de AxA. Para
ello tendrás el conjunto A={1, 2, 3, 4, 5, 6} y la relación
“tienen la misma paridad”, es decir, qué elementos de A son
pares o impares.

Representa , tanto en el diagrama como en forma de
conjunto, la relación AxA.
Representa el conjunto B que evidencie la relación ser par.
Representa el conjunto C que evidencie la relación ser
impar.
¿La pareja (4, 4) qué representa?
¿(3, 5) representa lo mismo que (5, 3)? Justifica tu
respuesta.
Clasifica las relaciones que cumplan con las propiedades
vistas anteriormente (Reflexiva, Simétrica y Transitiva)

Ejercicio

De acuerdo a lo trabajado, hasta el momento es hora de
generalizar las propiedades vistas:

“si se tiene un conjunto A y una relación R, donde ɑRb con
ɑ, b ϵ A indica que ɑ y b cumplen la relación R, la relación
puede cumplir las siguientes propiedades, las cuales se
denominan relación de equivalencia:

ɑRa para todo b ϵ a propiedad reflexiva.
Si ɑRb entonces bRa propiedad simétrica.
Si ɑRb y bRC entonces aRC propiedad transitiva.

Actividad

Observa el siguiente conjunto A={1, 2, 3, 4, 6, 12} (divisores de
12) y la relación “a divide exactamente a b” (a y b son elementos
de A).
Teniendo en cuenta el conjunto A y la relación realice y responda:

Construye haciendo uso de parejas ordenadas el conjunto H que
cumpla con la relación dada.
¿La relación cumple la propiedad reflexiva?
¿La relación cumple la propiedad simétrica?
¿La relación cumple la propiedad transitiva? De tres ejemplos.

De acuerdo a lo anterior, ¿alguna propiedad no se cumple? En
caso de que su respuesta sea afirmativa explique porque no se
cumple y diga ¿Qué debería pasar para que se cumpliese?

Actividad

De acuerdo a lo anterior, debiste haber notado que la relación
ɑRb y bRa (propiedad simétrica) no se cumplía. Lo anterior dado
que no hay un a que divida a b exactamente, y que a su vez b
divida exactamente a a. Para ello se tendría que cumplir que a=b;
tal propiedad se denomina anti-simétrica.

A su vez si un conjunto A y una relación R, cumplen con las pro-
piedades:




Se dice que la relación es de orden.

ɑRa para todo a ϵ R. propiedad reflexiva.
Si ɑRb y bRa entonces b=a. Propiedad anti-simétrica.
Si ɑRb y bRC entonces aRC. propiedad transitiva.