DESCRIPCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

ACTIVIDAD

3
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
  1. Con base en lo trabajado anteriormente, responde la siguiente pregunta en tu material del estudiante,
    luego comparte con tus compañeros y docente tu respuesta.

    ¿Qué tienen en común los puntos de la
    circunferencia?

  2. Socialicemos algunas de las respuestas a la anterior pregunta, y a partir de ellas construyamos una,
    definición de circunferencia:

    Área para escribir

    Definición construida:

    Una circunferencia es el lugar geométrico de los
    puntos del plano que están a la misma distancia
    de un punto fijo llamado centro.

Teniendo en cuenta la definición construida anteriormente, responde las siguientes preguntas en
tu material del estudiante:

a) ¿Cuáles conocimientos previos, crees que se
a) necesitarían para encontrar la ecuación que
a) determina una circunferencia con centro en C
a) (h,k) dado y radio r, dado?

b) ¿Cómo crees que se puede encontrar la
a) ecuación que determina una circunferencia
a) con centro en C (h,k) dado y radio r, dado?

Revisemos ahora la construcción de la ecuación de la circunferencia a partir de un punto cualesquiera P(x,y).

Si P(x,y) es un punto cualesquiera sobre la circunferencia,
entonces el conjunto: (x,): d(P,C)=r define la circunferencia, de
esta manera:



Por haber aplicado la fórmula de la distancia entre puntos.

Al momento de elevar la expresión algebraica al cuadrado
obtenemos que

Por lo que la relación que define a una circunferencia de radio r
con centro en un punto cualesquiera C(h,k) estará dada por la
expresión

Ahora bien, ésta expresión es para una circunferencia de radio r
y centro en (h,k).



¿Qué pasaría en la anterior relación, si h y k, fueron igual a
cero?

Responde en tu material del estudiante. Luego compartiremos
las respuestas con el resto de la clase.

En el caso de ser h y k iguales a cero, es decir ser una circunferencia con centro en el origen.



La expresión canónica estaría reducida a:

Considerando una circunferencia con centro en (h,k), y luego de desarrollar los binomios al cuadrado la expresión



Quedará de la siguiente manera:



Donde

Al tener las consideraciones anteriores, podemos ver
que a partir de una característica de la circunferencia
obtenemos para cualesquier caso con centro en (h,k)
la siguiente expresión:

  1. Con base en la anterior explicación observa los siguientes ejemplos y responde las preguntas que
    se hacen al respecto.

    EJEMPLO 1:
    Halle la ecuación de la circunferencia con
    centro C(2,3) y tiene radio 2cm.

    Ahora, utilizamos los datos para hallar la
    expresión final.

    √((x-2)2+ (y-3)2 ) =2

    (x-2)2+(y-3)2=22

    x2+y2-4x-6y+4+9-4=0

    D=4 E=6 y F=9

    EJEMPLO 2:
    Halle la ecuación de la circunferencia con
    centro P(0,0) y tiene radio 3cm.

    Ahora, utilizamos los datos para hallar la
    expresión final.

    √((x-0)2+ (y-0)2 ) =3

    x2+y2=32

    x2+y2=9

    a) Con base en lo observado hasta el momento, responde de
    a) manera individual en tu material del estudiante las siguientes
    a) preguntas:

    a) Describe paso a paso, los procedimientos realizados, para
    a) determinar la ecuación general de la circunferencia en cada uno
    a) de los ejemplos.
    b) Determina cuáles de los pasos anteriores se pueden considerar
    a) como necesarios en cualquier caso, justificando tu elección.
    c) ¿Crees que a partir de los ejemplos que observaste, puedes de
    a) forma autónoma determinar la ecuación general de una
    a) circunferencia? Justifica tu respuesta.

  2. Compártenos tus dudas acerca de lo visto en los ejemplos, socializaremos las respuestas y haremos
    las aclaraciones pertinentes.

    Pregunta 1: asdaasaaadasdaasasdsaassdasd Pregunta 2:








    Pregunta 3: asdaasaaadasdaasasdsdassdasd Pregunta 4:

Dado el centro y el radio, determinar la ecuación de la
circunferencia:

a) C(3,6) y r=5
b) C(0,2) y r=2
c) C(7,4) y r=3
d) C(-3,-5) y r=4
e) C(-5, 4) y r=1

Dada la ecuación de la circunferencia, construir su gráfica. a)

a) (x+7)2+(y+4)2=4
b) (x-0)2+(y+5)2=32
c) x2+(y-2)2-16=0
d) (x-5)2+(y+2)2=16
e) x2+y2-8x+6y+16+9-36=0

Dada la ecuación de la circunferencia, determinar su centro y su radio:

a) (x+5)2+(y-3)2=9
b) (x-2)2+(y-0)2=52
c) x2+y2-36=0
d) (x-2)2+(y-3)2=22
e) x2+y2-2x+4y-4=0

Resuelve la siguiente consigna en tu material del estudiante de manera individual, luego abordaremos cada
representación y la relación existente:

De acuerdo a las siguientes representaciones,
¿Qué relación existe entre la recta y la
circunferencia en cada caso?

Dadas una recta y una circunferencia en
un mismo plano, se pueden presentar las
siguientes situaciones:

En la representación #1, la recta es Exterior a la
circunferencia, si no tienen puntos en común.

Dadas una recta y una circunferencia en un
mismo plano, se pueden presentar las
siguientes situaciones:

En la representación #2, la recta es Tangente a la
circunferencia, si tienen un solo punto en común.

Dadas una recta y una circunferencia en
un mismo plano, se pueden presentar las
siguientes situaciones:

En la representación #3, la recta es Secante a la
ccircunferencia, si tienen solo dos puntos en común

Con base en los elementos vistos hasta el momento es posible determinar la posición de una recta
con respecto a una circunferencia.

Para determinar la posición, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, en los cuales encuentras la
ecuación de una circunferencia y la segunda es la ecuación de una recta.

De acuerdo a las respuesta obtenidas para los dos sistemas de ecuaciones es posible
afirmar que:

Como es el caso de este sistema, si el
sistema tiene una única solución, la recta
es tangente a la circunferencia, pues la
corta en un solo punto.

Mientras que si el sistema no tiene
solución como en este caso, la recta es
exterior a la circunferencia, pues no la
corta en ningún punto.

Pero si la recta tiene dos soluciones, la recta es secante a
la circunferencia pues la corta en dos de sus puntos.

Con base en las representaciones que hemos visto anteriormente, revisemos un ejemplo para cada una
de los casos vistos con ayuda de tu docente.

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN

REPRESENTACIÓN 1: RECTA EXTERNA A LA CIRCUNFERENCIA

Sea un sistema compuesto por la
circunferencia

Para resolver el sistema debemos de despejar a y en la ecuación
de la recta. Y sustituirla en la ecuación de la circunferencia:



Desarrollamos los binomios


Simplificamos.

Por lo que la respuesta a este sistema



Serán dos números que sumados den como resultado (-7) y
multiplicados den como producto (+14).

Lo cual dentro de los números reales no es posible. Esto es, que
el sistema no tiene solución como se observa en la gráfica
inicial.

REPRESENTACIÓN 2: RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA

Sea un sistema compuesto por la
circunferencia

Y por la recta

Para resolver el sistema despejamos a y en la ecuación de la recta. Y sustituimos
en la ecuación de la circunferencia:



Sustituimos y desarrollamos.



Simplificamos.

Por lo que la respuesta a este sistema



Es posible verla como:


Lo que significa que x=6 es la solución.

Por lo que, por tener una única solución, la recta es tangente a la cir-
cunferencia, como se observa en la gráfica inicial.

REPRESENTACIÓN 3: RECTA SECANTE A LA CIRCUNFERENCIA

Sea un sistema compuesto por la
circunferencia


Y por la recta

Para resolver el sistema despejamos a y en la ecuación de la recta. Y sustituimos
en la ecuación de la circunferencia:





Sustituimos y desarrollamos los binomios.

Al resolver el sistema en términos de la variable x, tenemos que las
raíces son:



Por lo que, por tener dos soluciones, la recta -x-3y=16.aaaa s
secante a la circunferencia (x+6)2+(y-4))=20a, como se observa en
la gráfica inicial.

  1. Con base en los anteriores ejemplos, desarrolla en tu material del estudiante las siguiente consigna
    que abarca la parte práctica de la clase:

    Determina la posición relativa de la recta para
    cada caso:

  2. De acuerdo a lo trabajado en clase hasta el momento, desarrolla en tu material del estudiante las siguientes
    consignas que luego socializaremos con el grupo:

    a) ¿Recuerdas alguna propiedad matemática?
    a) Sí, Enúnciala
    a) No, ¿Por qué?

    b) Lee atentamente la lectura, y responde:
    a) 1. Representa gráficamente la información que presenta cada
    a)aaa propiedad y recíproco.
    a) 2. ¿Qué relación se puede establecer, entre la parte práctica que se
    a)aaa realizó y las propiedades y recíprocos que se están trabajando?
    a) 3. ¿Qué se puede ganar, al conocer las propiedades y recíprocos
    aaaa) que se establecen a partir de la tangencia entre la circunferencia
    a)aaa y la recta?

    Lee detenidamente las siguientes propiedades y recíprocos que se tienen en relación a la
    tangencia que se establece entre la circunferencia y la recta:


    Propiedad: Si una recta y una circunferencia en un mismo plano se interceptan en un punto,
    entonces la circunferencia y la recta son tangentes y el punto se llama punto de tangencia.

    Propiedad: Una recta perpendicular al segmento radial de una circunferencia en su extremo
    externo es tangente a la circunferencia.

    Recíproco: Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al segmento radial en el
    punto de tangencia.

    Recíproco: Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto exterior son
    congruentes y determinan ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y el punto de
    intersección de las tangentes

De acuerdo a lo trabajado en clase hasta el momento, Responde las siguientes situaciones en tu
material del estudiante:

Resuelve en tu material del estudiante el sistema que se plantea para dar respuesta a la
siguiente situación. Apóyate en él procedimiento analítico y geométrico.


Situación 1:

Un grupo de epidemiólogos necesita aislar una zona de tierra tal que no se afecten las
muestras a estudiar ni que éstas infecten al resto de la fauna y flora del terreno. Para ello aíslan
la zona en un radio de 5 metros a la redonda. Si el centro de la zona en cuarentena debe estar
a 5 metros de distancia al oriente y a 7 metros de distancia al norte del puesto de control. ¿Un
epidemiólogo que se desplace sin protección por la recta -3x+10y=0 entrará a la zona de
cuarentena en algún momento?

Resuelve en tu material del estudiante el sistema que se plantea para dar respuesta a la
siguiente situación. Apóyate en él procedimiento analítico y gráfico.


Situación 2:

Un banda musical a nivel mundial se presenta en el estadio Atanasio Girardot de la ciudad de Medellín,
dentro del esquema de seguridad para el evento se han organizado tres perímetros a la redonda del escen-
ario deportivo, con punto central a 3 Hectómetros al este y a 2 Hectómetros al norte del puesto unificado de
mando, el primer perímetro cuenta con un radio de 3Dm, el segundo 4Dm, y el último con un radio de 6Dm.

Un turista debe de seguir la ruta descrita por la recta -1.77x-4.67y=-39.67 para llegar alcanzar a abordar
su transporte al aeropuerto. ¿Qué posición relativa a la segunda circunferencia tiene dicha trayectoria lineal?

Resuelve en tu material del estudiante el sistema que se plantea para dar respuesta a la
siguiente situación. Apóyate en él procedimiento analítico y gráfico.


Situación 3:

Un contratista requiere revisar el nivel de inclinación que tiene el parque central de forma circu-
lar en una población, para ello hace uso de un taquímetro (instrumento para medir distancias y
ángulos por medio de un láser), el haz de luz que emite el taquímetro describe una recta de
ecuación -2x+3y=18 y el parque tiene un contorno de ecuación x^2+y^2=36 ¿La recta descrita
por el haz de luz del instrumento qué posición relativa a la circunferencia del parque
tendrá?

Resuelve en tu material del estudiante el sistema que se plantea para dar respuesta a la
siguiente situación. Apóyate en él procedimiento analítico y gráfico.


Situación 4:

Una glorieta en una intersección vial presenta un corte del fluido eléctrico, los contratistas en-
cargados del mantenimiento y reparación de la red eléctrica de la ciudad identificaron que el
cableado que presenta fallas se encuentra ubicado espacialmente por medio de la ecuación
-x+6y=16y que la glorieta que se encuentra sin iluminación pública tiene un contorno que
cumple con el lugar geométrico de una circunferencia de ecuación (x+2)^2+(y+2)^2=20 ¿el
cableado en qué posición relativa a la circunferencia se encuentra?

Resuelve en tu material del estudiante el sistema que se plantea para dar respuesta a la
siguiente situación. Apóyate en él procedimiento analítico y gráfico.


Situación 5:

Un equipo de bomberos requiere apagar un incendio forestal que aqueja una zona de llanura, el
fuego ha consumido una zona a la redonda del punto de ignición que se encuentra encerrada
por la ecuación (x+4)^2+(y+3)^2=16, para ello recurren a trazar una línea de acción descrita
por un corta fuego de ecuación -x+6y=14 ¿Surtirá efecto la medida con respecto al fuego,
teniendo en cuenta que se necesita de al menos dos puntos de contacto con el corta fuego
para que el fuego se extinga?