CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES
ACTIVIDAD
Números enteros Z
Has pensado alguna vez en números diferentes a los
naturales; como expresas las bajas temperaturas en los
polos o las diferentes latitudes terrestres, en las diferentes
transacciones financieras realizadas alrededor de todo el
mundo; para estos casos y otros mas, son de utilidad los
números enteros.
¿Bajo qué condiciones la ecuación x + a = b, tiene
solución en los números naturales?
¿Cuándo esa ecuación no tiene solución en los
naturales?
¿En qué situaciones de la vida diaria es necesario
utilizar números negativos?.
Esta ecuación tiene solución en el conjunto de los números naturales.
Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales.
Ante estas situaciones , se hace necesario
definir un nuevo conjunto numérico que permita
dar solución a este tipo de ecuaciones; este
conjunto debe contener números negativos y a
su vez también a los números naturales.; así
nace el conjunto de los números enteros.
Arrastra
-
Según la primera consigna planteada en los enteros; x + a = b, con
a y b ϵ Z; tiene solución en los N si y solo si b > a
Para la segunda consigna, si b < a tendrá solución en Z
Para la tercera consigna, profundicemos un poco más.¿Por qué razón 5 es menor que 7?
Entre los números -4 y 0 ¿cuál es menor? ¿Por qué?
Entre los números – 20 y -7 cual es menor ¿Por qué?
Siendo m y n números enteros, ¿qué significa que n sea menor que m, (n ˂ m)?
-
Identifiquemos la forma de comprobar si un numero es mayor o menor que otro.
Identificar el mayor
de los númerosRealizar el cálculo
matemático apropiadoRazonemos sobre la
operación y la soluciónSe cumple el
axioma, (n < m) si y
solo si (m - n > 0)Entre los
números -7 y -20
el mayor es el -7
y el menor es -20(-7 – (-20))
-7 + 20
13El resultado
obtenido fue una
cantidad positiva.Observamos que al
realizar (-7 –(-20));
concluimos que
-20 < -7 porque
(-7 –(-20)) >0
Características y construcción de la recta numérica de números enteros
La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional
o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea
mediante una correspondencia biunívoca o mediante una
función biyectiva, usada para representar los números como
puntos especialmente marcados, por ejemplo los números
enteros mediante una recta llamada recta graduada entera,
ordenados y separados con la misma distancia.
El origen o el cero, es el punto de referencia que separa la
recta numérica en dos partes simétricas; a partir de este punto
se ubica cada número a la misma distancia que su anterior. A
la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a
la izquierda.
La unidad es la distancia existente entre dos números enteros
consecutivos; este segmento de recta comprendido entre estos
dos números se llama "segmento unidad"
Los números son ubicados de forma secuencial en cada
subdivisión de la recta, lo cual permitirá definir el orden de los
números y/o también la cantidad de unidades desplazadas en
cualquier sentido, desde un punto determinado.
Los enteros positivos también representados como Z+, serán el
conjunto de números que este ubicados a la derecha del origen
(0) sin importar cuantos segmentos unitarios existan entre ellos.
Los enteros negativos también representados como Z-, serán el
conjunto de números que este ubicados a la izquierda del origen
(0) sin importar cuantos segmentos unitarios existan entre ellos.
Un numero entero es mayor o menor que otro, dependiendo de sus
posiciones respectivas en la recta numérica
Si al compara dos numero enteros, su ubicación sobre la recta nos
permitirá saber cual es mayor o menor que el otro; el numero que
este ubicado a la derecha del otro, será considerado como el
mayor. Ejemplo: 1 > 0
Observemos sobre la recta que b esta ubicada 5 segmentos
unitarios (5 unidades) a la derecha de a; esto nos permite concluir
que b > a
PRACTIQUEMOS
Representar en la recta numérica los siguientes desplazamientos
Un objeto A se desplaza inicialmente 3
metros a la derecha, luego avanza otros
cinco metros en la misma dirección ¿a
cuantos metros se encuentra A de la
posición inicial?.
El objeto B se desplaza inicialmente tres
metros hacia la izquierda, luego avanza
otros cinco metros en la misma dirección
¿a cuantos metros se encuentra el objeto
B de la posición inicial?
DEFINAMOS
¿Que se entiende por valor absoluto?
Respuesta
El valor absoluto de un número n como la
distancia entre n y el cero y se denota | n |
-
DEFINAMOS
Ejemplo 1
El valor absoluto de -3 es la distancia en
unidades o cantidad de segmentos de
unidad que existen entre el cero y el -3,
o sea 3; en simbología matemática
seria representado como | -3 | = 3Ejemplo 2
El valor absoluto de 7, es la distancia en
unidades o cantidad de segmentos de
unidad que existen entre el cero y el 7,
o sea 7; en simbología matemática
seria representado como | 7 | = 7 -
DEFINAMOS
Como todo postulado matemático, es necesario dar la regla general que permite analizar cualquier
caso del conjunto de los números enteros.
|a| = -a si a < 0: por ejemplo si a = -3 |-3| = 3, porque al aplicar
|a| = -a
- (-3) = 3
|-3| = 3
Observe que –a es positivo cuando a es negativo. -
PRACTIQUEMOS
El objeto A realizo una serie de movimientos, los cuales se ilustran en la siguiente gráfica
Consignas
Qué puedes concluir a partir de la gráfica?
Describe mediante una operación, el movimiento que
realizó el objeto A.
Después de 2 desplazamientos que realizo el punto B
desde el origen, con la misma magnitud y sentido, el
punto B se encuentra a 14 metros hacia la derecha;
luego hizo un desplazamiento en sentido contrario de 4
veces dicha magnitud. ¿Cuál es la magnitud del primer
desplazamiento y cuál es el punto final de la trayectoria?
¿Cuál es el valor absoluto de h, si h es un entero
negativo?
¿Todo número entero es un número natural? ¿Por qué?
¿Todo número natural es entero? ¿Por qué?