CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

INDAGUEMOS

CONSIGNAS

Observa con atención la siguiente grafica y contesta las consignas

-¿Qué procedimiento realizarías para ubicar dichos números en la recta numérica?
-¿De los números racionales 5/6 y 7/9 cual es mayor? ¿Por qué?
-Crees que es posible ubicar otro número entre los racionales 5/6 y 7/9. Justifica tu respuesta

INDAGUEMOS

¿Dados los números racionales a/b y c/d cuál es mayor? ¿Por qué?

Con los números racionales ocurre lo mismo que con los números enteros ubicados en la recta,
es decir, si en la recta numérica 0 está a la izquierda de 1 entonces a/b < c/d si a/b está a la
izquierda de c/d.

OBSERVEMOS

UBIQUEMOS

Como el número racional a/b está situado a la
izquierda de c/d, entonces c/d es mayor que a/b
y a/b es menor que c/d.

Representar en la recta numérica, los siguientes números racionales y ordenarlos de mayor a
menor. 2/5, -1/4, 6/15, 7/6, -3/8, -1/ 5, 6/1,-7/1 y -9/24

-¿Es posible representar un número natural o entero
en forma de fracción? ¿De manera única? ¿Por qué?

-¿Todo número entero es racional?

Socialicemos

Respuesta

Donde a pertenece a los enteros y n pertenece a
los enteros positivos.

HAGÁMOSLO JUNTOS

CONCLUYAMOS

¿Cuál es el punto medio entre los números enteros 75 y 105?

¿Dada la siguiente gráfica, indica cuál es el punto medio entre los puntos a y b siendo estos
números enteros?

Si tomamos el punto a= 75 y b= 105, si aplicamos la formula b – a) /2, tendríamos: (105 – 75) /
2= 15. Con esta fórmula se calcularía el punto medio de la longitud del segmento ab, así que,
15 unidades a la derecha del 75 se encuentra el punto medio de este segmento, el cual es 90.

PRACTIQUEMOS

RECUERDA

Dado los siguientes pares de fracciones, ubícalas en la recta numérica, al igual que su
punto medio:

(2/5 y 8/25)
(-1/3 y -2/5)
(-7/10 y -2/5)

Dado los números a y b, que pertenecen a los racionales, con a= m/n y b= p/q halle el
punto medio entre los dos números a y b, además ubíquelo en la recta numérica.

¿Es racional el punto medio entre los anteriores racionales a y b?

Una forma de hallar el punto medio entre
dos números es utilizando la formula:

a + (b - a)/2 =
(2a + b - a)/2 =
(a + b)/ 2.

Socialicemos

Respuesta

ANALICEMOS

GENERALICEMOS

EXPLICACIÓN

¿El punto medio entre a y b, es el único racional que está entre a y b? ¿Por qué?

Sea c ese punto medio entre a y b entonces como a < c y a, c son racionales, su punto medio c1
es racional, luego como a < c1 y a, c1 son racionales, su punto medio c2 es racional. Este
proceso puede continuar de manera indefinida.

Entre a y b hay infinitos racionales como lo sugiere la siguiente gráfica

Por tanto si a y b son racionales y a < b, entonces hay por lo menos otro racional c que está
entre a y b (realmente hay infinitos), es decir a < c < b. Un conjunto en el que ocurre esto
se llama denso; por tanto los racionales son densos.