Caracterización de los números reales.

Siglo V a. C.
Se atribuye a Hippasus de
Metapontum, pitagórico del
siglo V antes de JC el haber
encontrado a los irracionales.
Se dice que fue tirado al mar
por haber descubierto un
elemento que negaba la
filosofía pitagórica de que los
fenómenos del universo se
podían reducir a números y
razones, es decir, que todo es
conmensurable.

300 a. C.
El libro X de los Elementos de
Euclides acomete la tarea de
clasificar tipos de irracionales.
Fue Eudoxio de Cnido
(408-355 a. C.) quien con su
noción de magnitud y su teoría
de las proporciones ata las
nociones de razón y proporción

Otras civilizaciones como los
babilonios, egipcios, hindúes y
árabes conocieron los
irracionales y no se plantearon
nunca su fundamentación lógica,
simplemente trabajaban con
aproximaciones de ellos como
entidades en su propio derecho.

Siglo XV y XVI
En el Renacimiento y los
siglos siguientes los
irracionales fueron usados,
pero muchos matemáticos los
objetaron porque no tenían
fundamentación lógica.
Hacia 1500 los irracionales se
trabajaban más libremente, sin
embargo su parte conceptual
seguía preocupando a los
matemáticos.

Siglo XVII
Pascal (1623- 62) y Barrow
(1630-77) consideraban que
π no se podía entender sino
como una magnitud
geométrica. Para ellos los
irracionales eran meros
símbolos que no tenían
existencia independiente de
las magnitudes geométricas y
la lógica de las operaciones
con irracionales debía ser
justificada por la teoría de las
proporciones de Eudoxio.

Se llega al siglo XIX con el
siguiente concepto de número
real: número racional es el que
puede representase por medio
de una expresión decimal
periódica y número irracional el
que no tiene un período en su
expresión decimal. Pero se hacía
necesario dar una definición de
número irracional independiente
del sistema de numeración.

El primero en publicar una
teoría sobre la construcción de
los reales es Charles Méray en
1869.

Richard Dedekind publica su
trabajo "Continuidad y los
números irracionales", donde se
encuentra su teoría sobre los
reales.

D. Hilbert (1862-1943) propuso
en el VI Apéndice de su
célebre libro "Fundamentos de
la Geometría" (1899) el
método axiomático de
introducción de los reales.

E. Kossak publica las notas de
clase tomadas en Berlín a
Weierstrass en 1865 y 1866
sobre su teoría general de
funciones analíticas; en ésta
se encuentra una construcción
de los irracionales.

George Cantor publica un
artículo sobre la unicidad en la
representación de una función
por medio de series
trigonométricas; el artículo está
dividido en tres partes, la primera
de las cuales está dedicada a la
construcción de los reales
encuentra una construcción de
los irracionales.