CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL.

Pero esto hace necesario estar
pendiente de los resultados de estas
acciones, la observación de esos
astros se va convirtiendo casi en
sistemática, arrojando como frutos
registros escritos de los cuales
sobreviven tablillas de arcilla con las
cuales el hombre buscaba,
inicialmente, evidencia de cambios en
el comportamiento de los astros: es
necesario buscar regularidades en
cambios registrados, esto lleva al
estudio de problemas de variación
continua: luminosidad de la luna en
intervalos de tiempo, períodos de
visibilidad de algunos planetas en
relación con el sol y otros.

En sus cálculos usaban tablas sexagesimales de cuadrados y raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas, también potencias sucesivas. No expresaban los resultados de sus análisis de forma general, sólo aparecen en sus tablas casos concretos a los que les buscaban generalidades sin llegar a formulaciones genéricas (Ruiz, 1998, 107)… Autores como Pedersen (1974, 36) ven en estos trabajos: IF: Instinto de funcionalidad. Se expresa como una relación muy general que asocia elementos de dos conjuntos, fruto de su profundización en métodos cuantitativos al tratar de aritmetizar observaciones difícilmente medibles, mediante lo que se llamaría

extrapolaciones e interpolaciones en busca de regularidades tal como lo evidencian las numerosas tablas dejadas por los babilónicos. Este mero instinto no llega a vislumbrar aun los cambios y su relación pues los trabajos de las culturas babilónicas versaban sobre casos concretos, sin llegar a formulaciones aunque buscaran regularidades; los valores de las magnitudes son sólo vistos como puntuales, discretos, particulares, sin llegar a las ideas de cambio y de cantidad variable concebidas más adelante por el pensamiento griego al producir la variación conceptual, desde IF hacia una noción menos lejana a la de función:

NCR: Noción de cambio y de relación. Noción ajena a las matemáticas, pero presente en el pensamiento griego como idea muy primitiva de función. Se expresa como una “noción de cambio y relación entre magnitudes variables” (Ruiz, 108). Para los griegos la concepción de variabilidad era exclusiva de las magnitudes físicas y externa a los objetos matemáticos considerados estáticos… La creación de las proporciones las cuales se constituyen, en este momento histórico, en el mejor medio para comparar magnitudes que, además, estaban completamente desprovistas de su carácter numérico.

Esta separación entre números y magnitudes alimentada por la inconmensurabilidad que ratificaba a los números como enteros y discretos y a las magnitudes como continuas hizo construir una versión discreta de los fenómenos naturales oponiéndose por siglos al avance en la construcción del concepto de función.

EDAD MEDIA (476 d.C – 1453 D.C):

Ya en el siglo XIII, la búsqueda no sólo de explicación de los fenómenos si no, además una explicación racional. NCR da cuenta del cambio, pero no del porqué, empieza pues a tornarse insuficiente para dar respuesta a esta nueva pregunta planteada en el marco de una época signada por la racionalidad y la búsqueda de “lo real, lo permanente, lo inteligible, tras el mundo cambiante de la experiencia sensible…” (Crombie, 1979, p.29. citado por Ruiz, 111)… se buscaba un modelo que respondiese a todas las cuestiones, la matemática entonces se convierte en la ciencia racional modelo para estas explicaciones tendiendo a ocupar cada vez un lugar

más importante en las ciencias de la naturaleza poniendo en duda la demarcación establecida por Aristóteles entre estas y las matemáticas. Filósofos como Grosseteste y Bacon llegan a afirmar que las matemáticas son el principal instrumento para estudiar los fenómenos naturales, lo que desembocó, como fruto de un largo proceso de cerca de cuatro siglos,

a que en el siglo XIV se otorgara gran atención a la formulación matemática nutrida de la cuantificación de los movimientos (Crombie, 1979)… Heytesbury y Swineshead habían desarrollado en Inglaterra la teoría de la intensidad de formas y, con ella, una cinemática-aritmética mientras en Francia Oresme se orientaba hacia la geometría, de modo que, en ambos casos, el movimiento era estudiado matemáticamente por primera vez en términos de distancia y tiempo… RF: relación funcional: se expresa como una relación cualitativa entre el fenómeno a explicar y las condiciones necesarias y suficientes para su producción. Es, básicamente, una relación cualitativa causa efecto en la

que se muestra claramente cómo están relacionados los cambios en lo que ahora llamaríamos variable dependiente con los cambios en lo que ahora llamaríamos la variable independiente, es decir, la descripción de los fenómenos se hace desde el “cómo”, pero es fruto más de especulaciones teóricas que de la experiencia con el mundo físico, debido tal vez a una escasa sistematicidad en las medidas que no

se alcanzaría hasta el siglo XVII, por esta razón la citada idea de relación funcional (RF) se desarrolló sólo en principio y fue expresada por dos métodos principalmente: El Álgebra de palabras” de Bradwardino de Oxford en el que se empleaban letras del alfabeto para representar las cantidades variables y las operaciones se indicaban con palabras, y el método geométrico, de Oresme, que acudía a las gráficas para representar la forma en que las cosas varían; el objetivo de Oresme era representar “las intensidades” de una cualidad de una magnitud continua, que depende de otra análoga, pero como aun se conserva la noción de número como conjunto de unidades, Oresme debe

acudir a utilizar segmentos (que si son continuos) para representar las magnitudes y sus cambios. Sus representaciones, como las del Álgebra de palabras, son más cualitativas que cuantitativas, existe en ese entonces un desfase entre las especulaciones teóricas y las herramientas matemáticas y de medición disponibles, aspectos que constituyen una necesidad latente durante siglos y que no permitía el avance de la descripción de los fenómenos físicos, nuevamente se tiene un desequilibrio entre la necesidad y lo disponible.

PERIODO MODERNO(desde finales del siglo XVI):

El estudio del movimiento ha traído consigo nuevas preguntas, todas ella referidas a las relaciones entre cantidades variables: Galileo tuvo gran empeño en buscar resultados y relaciones en la experiencia más que en la abstracción, la experiencia para él estaba favorecida por nuevos instrumentos de medida que introdujeron aspectos cuantitativos donde antes no existían. RF permitía expresar relaciones entre variables pero de una manera cualitativa, para Galileo esto no es suficiente, los nuevos instrumentos de medida le arrojan resultados que superan lo

expresable con RF, el desequilibrio ha sido establecido. René de Cotret afirma que es en este contexto que, el desarrollo de la concepción de variable dependiente (gracias a los trabajos de Galileo), vital en el establecimiento de relaciones causa-efecto de manera cuantitativa, contribuyó enormemente a la evolución de la noción de función (R. de Cotret. 1988, 13, citado por Ruiz, 1998, 117). En particular se identifica en este momento histórico la variación conceptual, es decir, el paso de RF a una noción aún más cercana de función:

RFC: Relación funcional expresada cuantitativamente: Noción que se expresa como una relación funcional causa-efecto expresada cuantitativamente. Dichas relaciones eran verificables mediante la observación y la medición, pero Galileo aun expresa sus leyes de manera homogénea, en forma de proporciones, conservando el carácter que durante muchos siglos estancó el concepto de función dándole lugar al concepto de ecuación y encubriendo aspectos de la variación continua. En este punto de la historia resulta interesante llamar la atención sobre un detalle trascendente para este estudio; el hombre sigue buscando respuesta a la pregunta sobre cómo

expresar las relaciones entre cantidades variables (en este momento en particular las relaciones entre cantidades y el tiempo), entre las causas y los efectos, pero de esas búsquedas ha emergido un objeto matemático: función, el cual trae consigo preguntas que, sin hacer sombra a las ya mencionadas, se toman buena parte del trabajo de los hombres de ciencia del momento… Hasta el siglo XVII la relación entre el álgebra y la geometría era de subordinación de la primera respecto de la segunda para la geometría sólo existían aquellas curvas que pudieran trazarse con regla y compás.

Esta situación restringía al álgebra en su campo de aplicación y a la geometría en el espectro de curvas conocidas, puesto que algunas construcciones geométricas eran casi imposibles. Las dos empiezan a tornarse insuficientes frente a las necesidades que la humanidad le planteaba a la ciencia que consideraba modelo de racionalidad. La diferencia ideales explicativos - capacidades corrientes se ha producido; primero Vieta (1540-1603) y luego René Descartes (1596 - 1650), buscan resolver problemas de construcciones geométricas mediante el álgebra dándole sentido a esta desde la geometría (Pierre Fermat (1601-1655) por su parte, hace lo

mismo apoyado en los trabajos de Vieta (Kline 1992, 402-403. Citado por Delgado, 1998, 178)), Vieta ve posible expresar la igualdad y la proporción entre magnitudes mediante el álgebra (Kline, 1972, citado por Sastre, Rey, Boubée, 2008, 145) y Descartes (y Fermat) establece que una curva se puede construir con sólo su expresión algebraica superando el criterio –griego– que exigía la constructibilidad de la línea para aceptar la existencia de una curva (Delgado, 1998, 180), ampliando el espectro de curvas conocidas distinguiendo, incluso, entre curvas geométricas y curvas mecánicas.

De esta manera, afirma Youschkevitch (1976, 25) es a Descartes a quien se le debe la idea de presentar una función en forma analítica al determinar que una ecuación en X y Y muestra la dependencia entre dos cantidades variables; RFC ahora se queda corta, ya no es suficiente establecer una relación funcional aunque sea cuantitativamente, la combinación álgebra-geometría (lo que podría llamarse algebreización de la curvas) posibilita predicciones operacionales para las relaciones funcionales, es necesaria la variación conceptual. Apoyado en Descartes, Gregory (1638 - 1675) realizará la distinción entre funciones “algebraicas” y “trascendentes” y, en

1667, da una definición más explícita de función: COD: Cantidad obtenida de otras: una función es una cantidad que se obtiene de otras cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operación imaginable. Según Youschkevitch este paso de expresar funciones en términos de ecuaciones tuvo un poderoso efecto en el desarrollo de las matemáticas pues le otorgó el verdadero estatus de cálculo al estudio de las funciones

Similarmente, Sierpinska (1989a) le otorga un gran valor al desarrollo de la notación algebraica en la superación del obstáculo epistemológico de la diferenciación entre número y magnitud. Sin embargo es importante mencionar que este logro también produjo lo que Ruiz (121) llamó encantamiento con el álgebra que, a la larga, se constituyó en obstáculo epistemológico para el concepto de función: considerar como funciones sólo aquellas que pudieran expresarse algebraicamente.