CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL.

ACTIVIDAD

1
RECONOCIENDO E INTERPRETANDO
Observa con atención y soluciona las consignas propuesta en tu material del estudiante de forma individual.

A un grupo de estudiantes de grado once, se les aplica una encuesta sobre la edad de
cada uno de los integrantes de este. Los resultados, permiten establecer la siguiente
conclusión: la edad mínima es de 15 años, la edad máxima es de 19 años y la edad
promedio de los estudiantes es de 16 años.

Relaciona cada estudiante con su respectiva edad,
de la manera en que mejor le parezca y responda:

¿Varios estudiantes pueden tener la misma edad?
¿Un estudiante puede tener varias edades?

Una posible solución a la situación problémica planteada anteriormente, podría ser:

Claramente se observa que cada estudiante tiene
una edad, lo cual se puede representar de la
siguiente manera:

(luisa, 15), es decir, a luisa le corresponde la edad
de 15 años.
(Carlos, 16) → a Carlos le corresponde la edad de
16 años.
(Daniel, 17) → a Daniel le corresponde la edad de
17 años.
(Mari, 18) → a Mari le corresponde la edad de 18
años.
(Rita, 19) → a Rita le corresponde la edad de 19
años.

Miremos otra posible solución:

En este caso vemos que:

(luisa, 16)
(Carlos, 16)
(Daniel, 15)
(Mari, 17)
(Rita, 19)

Definamos algunas características de las funciones.

  1. ¿ES UNA FUNCIÓN?

    Es una función, pues relaciona los
    estudiantes con las edades, en donde el
    conjunto de los estudiantes es el conjunto
    A (dominio) y el conjunto de las edades
    es el conjunto B (codominio)

    GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

    ELEMENTOS DE LOS CONJUNTOS

    Los elementos del conjunto A y del conjunto
    B se denotan respectivamente así:

    A = {Luisa, Carlos, Daniel, Mari, Rita}
    B = {15, 16, 17, 18, 19}

    DOMINIO

    El dominio es el conjunto de todos los
    elementos de A es decir:

    Df = A = {Luisa, Carlos, Daniel, Mari, Rita}

    RANGO

    rango es el conjunto de las imágenes del
    conjunto A

    Rango = Rf = {15, 16, 17, 19}

    CODOMINIO

    El codominio es el conjunto de todos los
    elementos de B

    Codominio = B = {15, 16, 17, 18, 19}

    CODOMINIO

  2. El número de elementos del codominio es igual al número de elementos del rango?

    No necesariamente el rango es igual al codominio, es decir que no todos los elementos del conjunto B son
    imágenes de los elementos del conjunto A. La relación que se establece entre los elementos del dominio y
    del codominio se puede representar de siguiente forma:
    (luisa, 16) → esta representación se denomina par ordenado
    Un par ordenado (x, y) indica la relación del elemento x ϵ A con el elemento y ϵ B, es decir que a x le
    corresponde y por medio de la función f. Además una función es un conjunto de pares ordenados que
    cumplen dos condiciones:
    Para todo x ϵ A existe y ϵ B tal que (x, y) ϵ f
    No existen dos parejas ordenadas distintas con el mismo primer elemento. Es decir, si (x , y) ϵ f y (x , z) ϵ
    f, entonces y = z

    En el ejemplo anterior, ¿Cómo se puede representar la función?

    Nf = {(luisa,16), (Carlos,16), (Daniel,15), (Mari,17), (Rita,19)}

    ¿Qué observas en la siguiente relación entre conjuntos?
    f = {(luisa,16), (Carlos,16), (luisa,15), (Mari,17), (Rita,19)} es decir:

    f no sería función porque luisa no puede tener dos edades distintas y además Daniel no tiene edad, ambas
    afirmaciones son falsas. En términos formales, un elemento del dominio, en este caso luisa, tiene dos
    imágenes del codominio (15 y 16 años) lo que incumple la segunda condición, y existe un elemento del
    dominio, en este caso Daniel, que no tiene imagen en el codominio, incumpliendo la primera condición.

Practiquemos lo aprendido; soluciona los siguientes ejercicios que se encuentra en tu material del estudiante.

Sea A = {1, 2, 3} B = { a, b}
Relacionar cada elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B; no importa si se repite.
Recuerda:
Los elementos del conjunto B pueden tener ninguna,una o varias pre-imágenes, mientras que los
elementos de A tienen que tener una única imagen.

f1= {(1, a), (2, a), (3,b)}
f2 ={(1,a) , (2,a) , (3,a)}
f3 ={(1,a) , (2,b) , (3,b)}
f4 ={(1,b) , (2,a) , (3,b)}
f5 ={(1,b) , (2,b) , (3,a)}
f6 ={(1,b) , (2,a) , (3,a)}
f7 ={(1,a) , (2,b) , (3,a)}
f8 ={(1,b) , (2,b) , (3,b)}

Repite el proceso anterior.
A = {1, 2} B = { a, b, c}
A = {1, 2} B = { a, b, c}

Lo primero que se debe hacer, es identificar los conjuntos A y B, recordando que una pareja ordenada es
(x, y) donde los “x”son los elementos de A y los “y” son los elementos de B. Luego señalar las relaciones
entre los elementos de los conjuntos. R1 = {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}

Claramente se observa que si es función porque cumple con las dos condiciones, todos los elementos del
dominio tienen una sola imagen.

R2 = {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)} Claramente se ve que no es función porque a cada elemento del
conjunto A le corresponden dos imágenes del conjunto B, lo que incumple la segunda condición.

Siendo posible ver directamente, en el conjunto deparejas ordenadas, que no es función por el hecho de
existir dos o más parejas con el mismo elemento inicial como (1,2) y (1,3).

Establece una función.
Representa esta, en los diferentes registros existentes. (Aquí es importante que se
retome la información presente en el texto de la introducción).
Indica de forma verbal y gráfica, ¿cómo se determina en cada representación que
la relación planteada es una función?

EJEMPLO 03